حل تمرین صفحه 69 ریاضی یازدهم تجربی

## الف) $g(x) = -|x|$ نمودار $g(x) = -|x|$، قرینهٔ نمودار $f(x) = |x|$ نسبت به **محور $x$** است. * **رأس**: $(0, 0)$. * **جهت**: رو به پایین. --- ## ب) $h(x) = -|x - 3|$ نمودار $h(x)$ از سه تبدیل بر روی $f(x) = |x|$ به دست می‌آید: 1. **انتقال افقی**: $3$ واحد به **راست** (به دلیل $x - 3$). رأس از $(0, 0)$ به $(3, 0)$ منتقل می‌شود. 2. **قرینه شدن**: قرینه نسبت به **محور $x$** (به دلیل علامت منفی). * **رأس**: $(3, 0)$. * **جهت**: رو به پایین. --- ## پ) $l(x) = 2|x - 2|$ نمودار $l(x)$ از سه تبدیل بر روی $f(x) = |x|$ به دست می‌آید: 1. **انتقال افقی**: $2$ واحد به **راست** (به دلیل $x - 2$). رأس از $(0, 0)$ به $(2, 0)$ منتقل می‌شود. 2. **انبساط عمودی**: $2$ برابر (به دلیل ضریب ۲). شیب خطوط از $\pm 1$ به $\pm 2$ افزایش می‌یابد. * **رأس**: $(2, 0)$. * **جهت**: رو به بالا (سهمی تیزتر).

برای انجام عملیات جبری بر روی توابع ($f \diamond g$), ابتدا دامنهٔ مشترک ($D_{f \cap g} = D_f \cap D_g$) را پیدا می‌کنیم. برای تقسیم ($\frac{f}{g}$)، باید ریشه‌های مخرج را از $D_{f \cap g}$ حذف کنیم. ## الف) $f(x) = |x|, \quad g(x) = \frac{1}{x}$ $$D_f = \mathbb{R}, \quad D_g = \mathbb{R} - \{0\}, \quad D_{f \cap g} = \mathbb{R} - \{0\}$$ | تابع | ضابطه | دامنه | | :---: | :---: | :---: | | $f+g$ | $|x| + \frac{1}{x}$ | $\mathbb{R} - \{0\}$ | | $f-g$ | $|x| - \frac{1}{x}$ | $\mathbb{R} - \{0\}$ | | $f\cdot g$ | $|x| \cdot \frac{1}{x} = \frac{|x|}{x} = \begin{cases} 1 & x > 0 \\ -1 & x < 0 \end{cases}$ | $\mathbb{R} - \{0\}$ | | $\frac{f}{g}$ | $\frac{|x|}{1/x} = x|x|$ | $\mathbb{R} - \{0\}$ | --- ## ب) $f(x) = x^2 - 4, \quad g(x) = x + 2$ $$D_f = \mathbb{R}, \quad D_g = \mathbb{R}, \quad D_{f \cap g} = \mathbb{R}$$ | تابع | ضابطه | دامنه | | :---: | :---: | :---: | | $f+g$ | $x^2 + x - 2$ | $\mathbb{R}$ | | $f-g$ | $x^2 - x - 6$ | $\mathbb{R}$ | | $f\cdot g$ | $(x^2 - 4)(x + 2) = x^3 + 2x^2 - 4x - 8$ | $\mathbb{R}$ | | $\frac{f}{g}$ | $\frac{x^2 - 4}{x + 2} = x - 2$ | $\mathbb{R} - \{-2\}$ | --- ## پ) $f(x) = \sqrt{x}, \quad g(x) = -\sqrt{x}$ $$D_f = [0, +\infty), \quad D_g = [0, +\infty), \quad D_{f \cap g} = [0, +\infty)$$ | تابع | ضابطه | دامنه | | :---: | :---: | :---: | | $f+g$ | $\sqrt{x} + (-\sqrt{x}) = 0$ | $[0, +\infty)$ | | $f-g$ | $\sqrt{x} - (-\sqrt{x}) = 2\sqrt{x}$ | $[0, +\infty)$ | | $f\cdot g$ | $\sqrt{x} \cdot (-\sqrt{x}) = -x$ | $[0, +\infty)$ | | $\frac{f}{g}$ | $\frac{\sqrt{x}}{-\sqrt{x}} = -1$ | $(0, +\infty)$ | --- ## ت) $f(x) = \frac{x - 2}{x + 5}, \quad g(x) = x^2 + 3x - 10$ $$D_f = \mathbb{R} - \{-5\}, \quad D_g = \mathbb{R}$$ $$g(x) = x^2 + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2)$$ $$D_{f \cap g} = \mathbb{R} - \{-5\}$$ | تابع | ضابطه | دامنه | | :---: | :---: | :---: | | $f+g$ | $\frac{x - 2}{x + 5} + x^2 + 3x - 10$ | $\mathbb{R} - \{-5\}$ | | $f-g$ | $\frac{x - 2}{x + 5} - (x^2 + 3x - 10)$ | $\mathbb{R} - \{-5\}$ | | $f\cdot g$ | $\frac{x - 2}{x + 5} \cdot (x + 5)(x - 2) = (x - 2)^2$ | $\mathbb{R} - \{-5\}$ | | $\frac{f}{g}$ | $\frac{(x - 2)/(x + 5)}{(x + 5)(x - 2)} = \frac{1}{(x + 5)^2}$ | $\mathbb{R} - \{-5, 2\}$ | --- ## ث) $f = \{(2, 5), (3, 4), (0, -2)\}, \quad g = \{(-1, 2), (0, 3), (2, 4), (3, 0)\}$ $$D_f = \{2, 3, 0\}, \quad D_g = \{-1, 0, 2, 3\}, \quad D_{f \cap g} = \{0, 2, 3\}$$ | تابع | ضابطه (زوج‌های مرتب) | دامنه | | :---: | :---: | :---: | | $f+g$ | $\{(0, 1), (2, 9), (3, 4)\}$ | $\{0, 2, 3\}$ | | $f-g$ | $\{(0, -5), (2, 1), (3, 4)\}$ | $\{0, 2, 3\}$ | | $f\cdot g$ | $\{(0, -6), (2, 20), (3, 0)\}$ | $\{0, 2, 3\}$ | | $\frac{f}{g}$ | $\{(0, -2/3), (2, 5/4)\}$ | $\{0, 2\}$ | *(نکته: برای $\frac{f}{g}$، $x=3$ حذف می‌شود چون $g(3)=0$.)*

تمامی توابع با اعمال تبدیلاتی بر روی نمودار اصلی $f(x) = \sqrt{x}$ (که از $(0, 0)$ شروع می‌شود) به دست می‌آیند. ## الف) $r(x) = 2\sqrt{x}$ * **تبدیل**: **انبساط عمودی** با ضریب $2$. * **نقطه شروع**: $(0, 0)$. * **ویژگی**: نمودار نسبت به $f(x)$ تندتر است. --- ## ب) $s(x) = -\sqrt{x - 2}$ * **تبدیل**: $2$ واحد **راست** و قرینه نسبت به **محور $x$**. * **نقطه شروع**: $(2, 0)$. * **ویژگی**: شاخهٔ رادیکالی به سمت راست و پایین است. --- ## پ) $t(x) = -3\sqrt{x}$ * **تبدیل**: **انبساط عمودی** با ضریب $3$ و قرینه نسبت به **محور $x$**. * **نقطه شروع**: $(0, 0)$. * **ویژگی**: نمودار نسبت به $-f(x)$ تندتر و در زیر محور $x$ است. --- ## ت) $u(x) = 1 - \sqrt{x}$ * **تبدیل**: قرینه نسبت به **محور $x$**، سپس $1$ واحد به **بالا**. * **نقطه شروع**: $(0, 1)$. * **ویژگی**: شاخهٔ رادیکالی به سمت راست و پایین از $(0, 1)$ شروع می‌شود. --- ## ث) $v(x) = 1 - \sqrt{x - 3}$ * **تبدیل**: $3$ واحد **راست**، قرینه نسبت به **محور $x$**، سپس $1$ واحد به **بالا**. * **نقطه شروع**: $(3, 1)$. * **ویژگی**: شاخهٔ رادیکالی به سمت راست و پایین از $(3, 1)$ شروع می‌شود.

برای رسم نمودار حاصل جمع $(f+g)(x)$ به روش هندسی، باید ضابطهٔ هر بخش از توابع را محاسبه و سپس آن‌ها را جمع کنیم. **۱. ضابطهٔ توابع $f$ (قرمز) و $g$ (آبی)**: * **تابع $f$ (قرمز)**: * برای $0 \le x \le 3$: پاره‌خط از $(0, 2)$ تا $(3, 2)$. $$f(x) = 2$$ * برای $3 \le x \le 5$: پاره‌خط از $(3, 2)$ تا $(5, 0)$. شیب $m = \frac{0 - 2}{5 - 3} = -1$. $$f(x) = -1x + b \Rightarrow 2 = -1(3) + b \Rightarrow b = 5. \quad f(x) = -x + 5$$ * **تابع $g$ (آبی)**: * برای $0 \le x \le 3$: پاره‌خط از $(0, 0)$ تا $(3, 2)$. شیب $m = \frac{2 - 0}{3 - 0} = \frac{2}{3}$. $$g(x) = \frac{2}{3}x$$ * برای $3 \le x \le 5$: پاره‌خط از $(3, 2)$ تا $(5, 2)$. $$g(x) = 2$$ **۲. محاسبهٔ ضابطهٔ $(f+g)(x)$** (باید در بازه‌ها محاسبه شود): * **بازهٔ $[0, 3]$**: $$(f+g)(x) = 2 + \frac{2}{3}x$$ * **بازهٔ $[3, 5]$**: $$(f+g)(x) = (-x + 5) + 2 = -x + 7$$ **۳. رسم نمودار $(f+g)(x)$**: * **نقاط مهم**: * $x=0$: $(f+g)(0) = 2 + 0 = 2$. نقطهٔ $(0, 2)$. * $x=3$: $(f+g)(3) = 2 + \frac{2}{3}(3) = 4$. نقطهٔ $(3, 4)$. (همچنین $-3 + 7 = 4$). * $x=5$: $(f+g)(5) = -5 + 7 = 2$. نقطهٔ $(5, 2)$. * **نمودار**: شامل دو پاره‌خط است: یکی از $(0, 2)$ تا $(3, 4)$ (صعودی) و دیگری از $(3, 4)$ تا $(5, 2)$ (نزولی).

نمودار سه تابع خطی $f, g, h$ از مبدأ عبور می‌کنند، پس ضابطهٔ آن‌ها به صورت $y = ax$ است. **۱. تعیین ضابطهٔ هر تابع (شیب)**: * **تابع $f$ (بنفش)**: از $(3, 3)$ می‌گذرد. $$m_f = 1 \Rightarrow f(x) = x$$ * **تابع $g$ (آبی روشن)**: از $(-2, 2)$ می‌گذرد. $$m_g = \frac{2 - 0}{-2 - 0} = -1 \Rightarrow g(x) = -x$$ * **تابع $h$ (صورتی)**: از $(1, -2)$ می‌گذرد. $$m_h = \frac{-2 - 0}{1 - 0} = -2 \Rightarrow h(x) = -2x$$ **۲. بررسی مجموع توابع**: باید بررسی کنیم که آیا یکی از توابع برابر مجموع دو تابع دیگر است یا خیر. * **آیا $f = g + h$؟**: $(g + h)(x) = -x + (-2x) = -3x$. ($f(x) = x$) $\Rightarrow \text{نادرست}$ * **آیا $g = f + h$؟**: $(f + h)(x) = x + (-2x) = -x$. ($g(x) = -x$) $\Rightarrow \mathbf{\text{درست}}$ * **آیا $h = f + g$؟**: $(f + g)(x) = x + (-x) = 0$. ($h(x) = -2x$) $\Rightarrow \text{نادرست}$ $$\text{نتیجه}: \mathbf{g} \text{ برابر مجموع دو تابع } f \text{ و } h \text{ است.}$$